拉马努金的圆周率公式，第一次看见的人一般有两种感受，一是式子看起来像杂乱字符，二是听说每计算一项，就能得到八位精准小数，觉得不可思议。普通圆周率级数，莱布尼茨级数算一百项，精度只能到小数点后两位，一万项也就四位。拉马努金公式，仅仅第一项，就能算出小数点后七八位，差距非常悬殊。
这个公式写作：
1/π = (2√2 / 9801) × 求和，从k等于0到无穷，每一项是 (4k)! × (1103 + 26390k) 除以 (k!)^4 × 396^(4k)。
式子满是阶乘、四次方，数字看着怪异。但正是这些组合，实现单项高精度。
收敛速度极快的核心，藏在(4k)!和(k!)^4的比值。k取0，这项数值是1；k等于1，4!是24，(1!)^4等于1，比值24；k等于2，8!是40320，2!四次方16，比值2520；k等于3，12!约4.79亿，3!四次方是1296，比值接近37万。这个比值上涨速度很快。分母带有396的4k次方，k每增加1，分母乘上396的四次方，数值大约246亿。分子增长快，分母增长更快，各项衰减力度极强。第一项贡献绝大部分数值，第二项仅为第一项的几亿分之一。所以只计算第一项，就能拿到不错精度。
仅仅衰减快不足以体现优势，不少级数收敛速度同样很快。拉马努金公式真正厉害之处，第一项计算结果本身就非常接近1/π。系数2√2/9801搭配1103，都是精心设计的数字。9801等于99平方，99和396相关，396是4×99。1103看着像质数，作用是微调第一项数值，刚好贴近1/π。拉马努金自己说不清怎么找到这组数字，他说是娜玛卡尔女神在梦中告知。后续数学家耗费大量精力才发现，这些特殊数字来自模形式、椭圆积分特殊取值。
普通π级数好比钝斧头砍树，反复多次才能砍断。拉马努金公式类似激光切割，一次计算就足够锋利。之所以效果突出，式子内部阶乘、四次方、396幂次的组合，刚好匹配圆周率内在数学结构。圆周率和模形式存在深层关联，拉马努金依靠直觉抓住这个联系，写成普通人难以看懂的级数。
这个公式还有一点让人惊叹，收敛速度快到近乎不可思议。有人实际验算，第一项算出结果3.14159273001...，π真值3.14159265358...，前六位一致，第七位开始出现偏差。叠加第二项，精度直接超过十五位，加上第三项，突破三十位。这样的收敛效率，在数学史上十分少见。
后续研究者基于这个公式变体，把π计算到小数点上万亿位。1985年，威廉·戈斯借助拉马努金公式，用计算机算出π的1700万位。楚德诺夫斯基兄弟改良公式，单项能够输出十五位精度，如今π世界纪录大多基于这套改良版本。楚德诺夫斯基公式本质沿用拉马努金思路，只是修改参数。
拉马努金没有附上公式证明。写下式子时，他直接断定公式成立。哈代看到笔记本后评价，这些结果必然为真，如果是编造，没人拥有这般想象力。之后数学家依靠模形式理论补全证明。现在清楚，公式来自奇异模，描述椭圆曲线特殊性质。椭圆曲线和圆周率表面毫无关联，复数域内，两者依靠模函数建立联系。拉马努金找到了这条隐蔽数学通路。
普通人不用弄懂模形式，也能感受公式美感。美感来自，一组看似随意堆砌的数字，能极快逼近圆周率。这种外表杂乱，内在高度精准的反差，就是拉马努金留给世人最动人的部分。