2026年9月24日，arXiv平台上线一篇32页的微分几何论文，标题直译是《所有光滑七维球面上的正截面曲率》，作者为Yang-Hui He、Ziran Liu与丘成桐。论文摘要里面一句话，相关领域的研究者看到都会留意：他们为全部28个有向微分同胚类，各自构造了具备严格正截面曲率的光滑黎曼度量。
读懂这件成果，关键就是“全部28个”这个数字。
七维球面，直观理解就是更高维度的球体。但放到微分拓扑的视角，它远比想象复杂。1956年米尔诺（John Milnor）做出一项震动数学界的发现：存在部分七维流形，拓扑层面和标准七维球面完全一致，可以连续形变互相转换；但如果要求形变过程保持光滑，不产生尖角、撕裂，它们就和标准球面不属于同一种。米尔诺将这类外形像球、却不是标准球面的流形命名为奇异球。后续米尔诺和Kervaire进一步证明，七维球面一共存在28种互不微分同胚的光滑结构，其中一种是标准球面，剩下27种都是奇异球。
所以数字28本身代表一套完整分类。不是有无穷多解这类模糊结论，也不是只找到少数案例的局部成果。它代表七维空间里所有可能的光滑球面结构，总数就这么多，这篇论文把全部28种都完成构造。
再解释正截面曲率。球面本身带有弯曲特性，曲率为正。但同一个光滑流形可以装配多种度量，能够拉伸、压扁、扭曲外形。一旦约束流形在每一点、每一个二维切平面方向，都保持正截面曲率，能够使用的度量类型就会大幅减少。标准球面搭配常规圆形度量，自然满足条件。可当光滑结构替换为那27种奇异球之后，还能不能找到符合要求的度量，就变成了一个很难解决的问题。
这个难题长期难以突破，是缺少对应的研究工具。2009年Brendle和Schoen借助Ricci流证明微分球面定理：如果流形满足严格四分之一曲率挤压，也就是截面曲率限制在很窄的正数区间，那么它一定微分同胚于标准球面。这条定理约束很强，严格曲率条件直接排除奇异球。但定理留下疑问：只要求截面曲率为正，不附加挤压条件，奇异球是否也能装配这类度量？Brendle-Schoen这套思路无法回答这个问题，因为这套方法依靠流方程把度量转化为常曲率，奇异球本身的光滑结构，阻碍了这种形变。
丘成桐团队采用了不一样的研究路径。没有使用流方程，选择分片构造再粘合的方案：先在七维圆盘的两个部分分别构建正曲率度量，保证二者边界诱导的度量，在指定粘合映射下匹配，再依靠粘合定理，把两块拼接成闭流形上的光滑度量。技术细节用到Duran-Püttmann-Rigas双圆盘模型、Blakers-Massey映射迭代，用来编码28种光滑结构，构造过程大量使用四元数坐标和主丛连接。
AI在这项研究里的作用值得单独说明。论文摘要没有详细介绍AI的具体工作，公开讨论中也有人表示不清楚AI的使用方式。可以确定AI辅助集中在符号计算、构造方案搜索环节，并不会替代人的数学判断。丘成桐本人对AI在数学领域的定位一直比较谨慎，多次提出AI是高效工具，无法替代人类对问题的判断，也不能产生灵感跳跃。本次研究里面AI就属于工具定位：整体构造拥有清晰数学逻辑，AI负责处理计算量大、需要反复试错的部分。
这项成果的意义可以简单概括：仅仅依靠正截面曲率，无法区分标准球面和奇异球面。Brendle-Schoen的强约束说明，曲率条件足够严苛时奇异球会被排除；本次结果证明，放宽到仅要求曲率为正，所有奇异球都可以满足条件。一强一弱两组结论，清晰划定曲率条件识别光滑结构的能力边界。
对于黎曼几何来说，这意味着正截面曲率作为分类工具，存在本质局限。不能依靠这个条件判断流形属于标准球还是奇异球，两种类型都可以满足。放到微分拓扑领域，28种光滑结构可以承载什么几何度量，现在有完整答案：它们全都能够拥有正截面曲率度量。
