很多人会认为，统计学只是计算平均数、制作报表，和偏向推理证明的纯数学关联不大。
统计学内部不少分支，研究内核属于纯数学范畴，和数论、几何、拓扑之间的联系，远多于Excel这类办公软件。
代数统计：借助方程研究统计问题
这个方向，使用代数几何、交换代数这类纯数学工具研究统计模型。
过去评估统计模型优劣，需要开展多种检验。代数统计的思路，把模型转化为多项式方程组。模型的好坏，判断依据就是方程组奇点情况，统计问题转化成解方程。该方向应用场景很多，教育测评、神经科学领域都有使用。
高维统计：高维空间的几何研究
传统统计学样本数量大于指标数量，例如一百个样本，观测两项指标。现代数据经常指标数量超过样本，基因数据就是典型，数万个基因指标，样本仅有几百份。
高维空间和三维空间性质差别巨大。高维统计核心，研究数据在高维空间当中的几何结构，用到泛函分析、随机矩阵理论等高阶数学工具。高维统计理论研究，本质就是证明高维空间内的几何定理。
几何与微分几何方法：统计模型的空间分析
很多统计模型，可以看作曲面或者流形，模型参数对应曲面坐标。评估统计方法效果，转化为研究曲面曲率。这个方向依托微分几何、拓扑学知识。有学者使用横截性理论这类前沿拓扑工具，研究统计模型参数不可识别的难题，属于纯数学前沿研究。
统计学习理论：搭建AI数学基础
当下人工智能应用广泛，但很多算法属于黑盒。统计学习理论，从数学层面证明算法生效条件与失效边界。
研究需要经验过程理论这类复杂概率论工具。近期还有研究者用Lean4数学证明助手，对统计学习理论定理做形式化验证。为人工智能搭建严谨数学基础，本身就是纯数学方向的工作。
概率论基础：不确定性底层研究
概率论归类在数学学科，也是统计学理论根基。现代概率论建立在测度论之上。前沿概率论研究，已经和统计物理、量子场论深度结合。还有学者尝试用软逻辑重新定义概率公理，用来解决希尔伯特第六问题。这类底层逻辑探索，属于纯数学核心领域。
如果挑选和纯数学联系最紧密的方向，数理统计理论，尤其是高维统计、统计学习理论，再加上概率论本身，排在首位。代数统计、几何方法，同样依靠高阶数学工具处理统计相关问题。