欧拉公式 e^(iπ) + 1 = 0，经常被称作最美数学公式。但关于它到底是人为定义出来，还是推导得到的，这个话题本身比公式更有意思。
想要弄明白这点，可以先看欧拉当年得到这个关系式的过程。他不是直接定下一个定义。而是借助无穷级数展开推导。e^x 的泰勒展开形式是 1 + x + x²/2! + x³/3! + ……，cos x 的展开式是 1 - x²/2! + x⁴/4! - ……，sin x 的展开式是 x - x³/3! + x⁵/5! - ……。如果把 e^x 中的 x 替换成 ix，展开之后，式子的实部刚好对应 cos x，虚部对应 sin x。这种对应关系不是人为规定，代入数值计算就能得到这个结果。欧拉在1748年出版的《无穷分析引论》里就是这样推导。他没有预先定义 e^(ix) = cos x + i sin x，而是计算无穷级数时，发现这三类函数之间存在这样的关联。
从历史发展顺序来看，这个关系是被发现，不是直接定义。欧拉没有直接规定 e^(ix) 的表达式，而是处理无穷级数的时候，找到了这几个函数之间隐藏的联系。找到这个联系之后，很多数学问题就可以串联起来。
不过这里有个容易忽略的细节。泰勒级数本身属于定义。为什么 e^x 的展开式就是这一串？实数域内 e^x 的导数等于自身，这个性质决定了对应的级数形式。那复数域中 e^(ix) 的导数是否同样等于自身？如果希望指数函数导数规则在复数域继续成立，e^(ix) 的导数按照链式法则就是 i·e^(ix)。这里的 i，来自复数乘法规则，而复数乘法规则本身就是人为设定，我们规定 i² = -1。
一路追溯下去，欧拉公式依托两个基础。复数乘法规则，属于人为定义。指数函数拓展到复数域的方式，不能随意设定，要满足多项约束条件，保留指数运算基础性质，实数区间和原本的 e^x 保持一致，导数规则不变。满足这些条件的拓展方式只有一种。也就是说，只要认可复数的定义，欧拉公式就是必然推导结果，没有其他选择。
可以拿下棋打比方。人为定下马走日、象走田这类规则。规则确定之后，一步棋是否合规就不能随意更改。欧拉公式就相当于复数规则下必然出现的结果。规则是人设定，但推导得到的结论不是。
也可以从微分方程角度理解。函数 f(x) = cos x + i sin x，满足 f'(x) = i·f(x)，并且 f(0) = 1。复数域内这个微分方程只有唯一解，也就是 e^(ix)。从这个角度看欧拉公式同样不是定义，而是解方程得出。甚至不用提前了解 e^(ix) 的含义，只需要清楚它满足的方程，解自然指向 cos x + i sin x。
那为什么不少人会认为它是人为定义？现代数学教材授课时，很多会直接定义 e^(ix) = cos x + i sin x，再依托这个定义推导其他结论。这么做逻辑简洁，省去无穷级数的复杂推导，方便教学。但这只是教学简化手段，并不是历史真实过程。历史上先发现函数关系，后续才补充对应的定义。教材直接把它当成定义，很容易让人误以为是人为凭空设定。
还有更深一层思考。e、i、π这三个常数，各自来源完全独立。e来自复利和自然增长问题，i源于负数开方解方程需求，π和圆形计算相关。原本互不相关，欧拉公式把三者整合到同一个简洁等式。这种整合不像是刻意设计，人为设定一般带有明确目的，这个等式却看不出明显设计意图。更像是翻越山岭之后，偶然发现一条原本就存在的通路，只是之前没有被发现。
所以我的看法是，欧拉公式既不是单纯人为定义，也不是单纯推导产物。它是在人为设定的数学规则体系里，推导得到的必然结论。复数运算规则是人定下的，但规则确定之后，e^(iπ) = -1 这个结果就固定下来。整个数学体系是人搭建，但体系内部，欧拉公式是自然推导生成，不是人为画出来的式子。
